¿Qué sabían los antiguos griegos sobre los números irracionales?

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La primera prueba de irracionalidad proviene de la antigua Grecia.

Todo comenzó con Pitágoras, un matemático de Samos. Es conocido principalmente por el teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa.

El teorema probablemente fue anterior a Pitágoras, pero él es el que produjo la primera prueba conocida.

Además de ser un gran matemático, Pitágoras también era conocido por ser un chiflado. Después de unos años en Samos, se mudó al sur de Italia, donde comenzó un culto. La historia de ese culto es muy interesante, y hay muchos otros descubrimientos que les atribuimos, pero esa es una historia para otro momento.

Uno de los principios de los pitagóricos era que todos los fenómenos naturales podían describirse como proporciones de números naturales, lo que hoy llamamos números racionales.
Bueno, uno de ellos, Hippasus, mientras estudiaba el teorema de Pitágoras, descubrió accidentalmente que este principio no era cierto: dado el triángulo anterior, con los lados cortos iguales a 1 unidad de longitud (a = b = 1), demostró que allí no hay números p, q tales que c = p / q que satisfagan el teorema de Pitágoras para este triángulo. Por lo tanto, para este triángulo, c no puede ser racional. Llamó al número alogos (αλογος), aquello sobre lo que no se puede razonar. Los llamamos irracionales hoy.

El descubrimiento de Hippasus no fue bien recibido. A los otros pitagóricos no les gustaba estar equivocados (típicamente griegos), por lo que, según la leyenda, arrojaron a Hippasus por la borda cuando les habló de la prueba (aparentemente, estaban en un barco).

Hubo más descubrimientos después de este. Por ejemplo, Zenón demostró con sus paradojas que los números no podían representarse solo por fracciones.
En general, los antiguos griegos sabían sobre números irracionales. Simplemente no les gustaban mucho.