¿Cómo resolvieron las personas las tablas de integración antes de las computadoras electrónicas?

Answer 1

Es porque calcular las fórmulas que ve en la tabla de integración no requiere una aproximación numérica, ya que las fórmulas son exactas. La gente no solo adivinó las respuestas de la nada, por supuesto. En cambio, se basan en una serie de teoremas y propiedades sobre los antiderivados :

• [matemáticas] \ int f \ pm g = \ int f \ pm \ int g [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ int kf = k \ int f [/ matemáticas]
• Si [matemática] F ‘(x) = f (x) [/ matemática] entonces [matemática] \ int f = F [/ matemática]

Por ejemplo, en este artículo http://mathvault.ca/derivative-i…, se prueban las derivadas de las tres funciones trigonométricas inversas principales:

• [matemáticas] (\ arcsin {x}) ‘= \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} [/ matemáticas]
• [matemáticas] (\ arccos {x}) ‘= – \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} [/ matemáticas]
• [matemáticas] (\ arctan {x}) ‘= \ frac {1} {1 + x ^ 2} [/ matemáticas]

que básicamente nos da tres fórmulas de integración:

• [matemáticas] \ int \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} dx = \ arcsin {x} + C [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ int – \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} dx = \ arccos {x} + C [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ int \ frac {1} {1 + x ^ 2} = [/ matemáticas] [matemáticas] (\ arctan {x}) + C [/ matemáticas]

Así que esa es una forma de encontrar la integral de una función, simplemente haciendo ingeniería inversa . Por supuesto, hay más bolsas de trucos que nos permiten descubrir más fórmulas, como la sustitución , la integración por parte , la sustitución inversa y la fracción parcial , pero el punto aquí es que las fórmulas para los antiderivados se pueden calcular utilizando la teoría pura y algunos ingenio.

Answer 2

Si por tablas de integración te refieres a tablas de valores para integrales que carecen de una solución analítica, entonces se descubrieron de la misma manera que las computadoras lo hacen. Aproximación numérica Obviamente, esto es mucho más difícil sin computadoras, ya que hay que sumar miles y miles de números pequeños a mano para obtener resultados precisos, pero solo se debe hacer una vez. Las tablas de logaritmos se calcularon de la misma manera. Cuando los valores de una determinada integral eran lo suficientemente importantes, alguien (generalmente un equipo de alguien) mordería la bala y calcularía un montón de valores. Entonces cualquiera que los necesitara en el futuro podría buscarlos