¿Qué hace la policía si su ciudad es invadida en la guerra?

Nada en realidad. Su autoridad se hereda del gobierno nacional, por lo que una fuerza de invasión eliminaría efectivamente esa autoridad.

Cualquier número de encuestados podría argumentar que tienen el deber de resistir o el deber de continuar, pero la realidad es que los invasores toman las reglas y la policía se convierte en civil o los invasores toman una decisión pragmática como lo hicieron muchos protagonistas durante WW2 y acuerdan reglas para que continúe la Fuerza de Policía en ejercicio. Esa fuerza policial les informaría y aplicaría la ley de los invasores como lo hicieron los alemanes en Polonia, la ley existente (no hay ejemplos reales de esto) o como lo hicieron los alemanes en Francia y las Islas del Canal, un híbrido de dos con la adición de dictados locales (este es el más común). Pero puede ser que los invasores desconfíen de la policía local y recluten una nueva fuerza policial. Allí, donde los documentos que establecen planes para recrear camisas negras en el Reino Unido por un ejército alemán invasor, por ejemplo, pero en la Isla del Canal, el comandante alemán local vetó esto …

De todos modos, pase lo que pase, la policía existente pierde toda autoridad inmediatamente después de que se completa la invasión y se implementa la ley marcial.

Esto dependería de su estado dentro de su país. En Canadá, las fuerzas policiales son parte del sistema de justicia, no los militares, por lo que, según tengo entendido, la convención de Ginebra, se espera que continúen manteniendo la paz civil y apoyando a otros socorristas. El único ejemplo que he visto de esto es una fotografía de un Bobby inglés en una de las Islas del Canal ocupadas por Alemania, hablando con un oficial alemán. Los oficiales de policía canadienses operan bajo la misma constitución, efectivamente, así que estoy bastante seguro de que sucederá lo mismo, al menos técnicamente. Sin embargo, un número significativo de policías canadienses también son miembros de las unidades de reserva (milicias) en las Fuerzas Armadas canadienses, por lo que probablemente no estarían involucrados en el dilema.

Según el derecho internacional, la policía, al igual que cualquier habitante, tiene derecho a defender su casa.

En la práctica, a la policía generalmente se le ordena permanecer en el lugar sin resistirse. Esto significa que una vez que la ciudad está ocupada, tienen que obedecer a las autoridades de ocupación. Por lo general, permanecen en funcionamiento, aunque a veces están desarmados.

Según el derecho internacional, esto creó problemas cuando los alemanes en la Segunda Guerra Mundial ordenaron a las fuerzas del orden que ayudaran con la deportación de ciertos grupos de personas (judíos, personas en fuga, comunistas, etc.). Esto sigue siendo un tema con picazón en muchos países.

Las tropas invasoras serían atacadas por las fuerzas armadas estadounidenses. Están entrenados para hacer la guerra.
La policía continuaría manteniendo la ley y el orden dentro de sus respectivas jurisdicciones. No están entrenados ni equipados para tácticas de combate a gran escala.

Por lo general, rendirse.

La policía es una fuerza de mantenimiento de la paz y, a pesar de la militarización desenfrenada de la policía en los Estados Unidos, no son un equipo militar y no están entrenados como tales. Los requisitos físicos no son tan grandes y no están entrenados en armas y tácticas, incluso cuando se les entrega equipo militar (es por eso que viste a tanta gente militar criticando el comportamiento de la policía con armas pesadas y armaduras durante las protestas, porque los están usando incorrectamente). Si una fuerza militar derrotó al ejército del defensor, es demasiado tarde para que la policía haga algo. Lo que deberían hacer es esperar que los invasores sean inteligentes y los mantengan cerca para mantener la paz, ya que eso es importante para una fuerza de ocupación. Es difícil para los ocupantes ser una fuerza policial en un área desconocida, por lo que generalmente emplean a los lugareños. El trabajo de la policía es mantener la paz, no defenderse de los invasores.