Escribiré sobre Historia de las Matemáticas Indias :
MATEMÁTICAS ha desempeñado un papel importante en el desarrollo de la cultura india durante milenios. Las ideas matemáticas que se originaron en el subcontinente indio han tenido un profundo impacto en el mundo. Swami Vivekananda dijo: ‘sabes cuántas ciencias tuvieron su origen en la India. Las matemáticas comenzaron allí. Incluso hoy está contando 1, 2, 3, etc. a cero, después de las cifras sánscritas, y todos saben que el álgebra también se originó en la India.
También es un buen momento para revisar las contribuciones de los matemáticos indios desde la antigüedad hasta el presente, ya que en 2010, India organizará el Congreso Internacional de Matemáticos. Esta reunión cuadrienal reúne a matemáticos de todo el mundo para discutir los desarrollos más significativos en el tema en los últimos cuatro años y tener una idea de hacia dónde se dirige el tema en los próximos cuatro. La idea de celebrar tal congreso a intervalos regulares en realidad comenzó en la Exposición Colombina en Chicago en 1893. Esta exposición tuvo sesiones para resaltar el avance del conocimiento en diferentes campos. Una de ellas fue una sesión sobre matemáticas. Otro, quizás más familiar para los lectores de Prabuddha Bharata, fue el famoso Parlamento de Religiones en el que Swami Vivekananda hizo su primera aparición pública en Occidente.
Después de la reunión de Chicago, el primer Congreso Internacional de Matemáticos tuvo lugar en Zurich en 1897. Fue en la próxima reunión en París en 1900 que Hilbert formuló sus ahora famosos 23 Problemas. Desde entonces, el congreso se ha reunido aproximadamente cada cuatro años en diferentes ciudades del mundo, y en 2010, el lugar será Hyderabad, India. Esta es la primera vez en sus más de cien años de historia que el congreso se llevará a cabo en India. Esta reunión podría servir como ímpetu y estímulo para el pensamiento matemático en el subcontinente, siempre que la comunidad esté preparada para ello. La preparación consistiría en gran medida en conocer la tradición de las matemáticas en la India, desde la antigüedad hasta la modernidad, y en abrazar el potencial y la posibilidad de desarrollar esta tradición a nuevas alturas en los próximos milenios.
- ¿Qué pasó durante el imperio mogol en la India?
- Ficción literaria: ¿Qué “hechos” mencionados en ‘The Krishna Key’ por Ashwin Sanghi son realmente ciertos?
- ¿Qué alternativas se consideraron para la partición de India y por qué fueron mejores / peores que la solución implementada?
- ¿Cómo pudo India haber evitado ser colonizada por Gran Bretaña?
- ¿Cuándo y cómo descubrió Colón que en realidad no estaba en la India?
En la antigüedad, las matemáticas se usaban principalmente en un rol auxiliar o aplicado. Por lo tanto, se utilizaron métodos matemáticos para resolver problemas en la arquitectura y la construcción (como en las obras públicas de la civilización Harappan) en astronomía y astrología (como en las palabras de los matemáticos jainistas) y en la construcción de altares védicos (como en el caso de los Shulba Sutras de Baudhayana y sus sucesores). Para el siglo VI o V a. C., las matemáticas se estudiaban por su propio bien, así como por sus aplicaciones en otros campos del conocimiento.
El objetivo de este artículo es dar una breve reseña de algunas de las innovaciones sobresalientes introducidas por las matemáticas indias desde la antigüedad hasta la modernidad. Como veremos, no parece haber habido un momento en la historia de la India en el que no se desarrollaran las matemáticas. El trabajo reciente ha desenterrado muchos manuscritos, y lo que antes se consideraba períodos inactivos en las matemáticas de la India ahora se sabe que ha sido muy activo. Incluso un pequeño estudio sobre este tema deja a uno con una sensación de asombro ante la profundidad y amplitud del pensamiento indio antiguo.
La imagen aún no está completa, y parece que hay mucho trabajo por hacer en el campo de la historia de las matemáticas indias. Los desafíos son dobles. Primero, está la tarea de localizar e identificar manuscritos y traducirlos a un idioma que sea más familiar para los eruditos modernos. En segundo lugar, está la tarea de interpretar la importancia del trabajo realizado.
Dado que gran parte del trabajo pasado en esta área ha tendido a adoptar una perspectiva e interpretación eurocéntrica, es necesario tener una mirada fresca y objetiva. Ha llegado el momento de hacer un gran esfuerzo para desarrollar una imagen lo más completa posible de las matemáticas indias. Aquellos que estén interesados en embarcarse en tal esfuerzo pueden encontrar mucho material útil en línea.
Podemos preguntarnos qué significa el término ‘indio en el contexto de esta discusión. Principalmente, se refiere al subcontinente indio, pero para la historia más reciente incluimos también a la diáspora y a las personas cuyas raíces se remontan al subcontinente indio, donde sea que se encuentren geográficamente.
Matemáticas en la antigüedad (3000 a 600 a. C.)
Se considera que la civilización del valle del Indo existió alrededor del año 3000 a. C. Dos de sus ciudades más famosas, Harappa y Mohenjo-Daro, proporcionan evidencia de que la construcción de edificios siguió una medida estandarizada que era de naturaleza decimal. Aquí, vemos ideas matemáticas desarrolladas con el propósito de la construcción. Esta civilización tenía una avanzada tecnología de fabricación de ladrillos (habiendo inventado el horno). Los ladrillos se utilizaron en la construcción de edificios y terraplenes para el control de inundaciones.
El estudio de la astronomía se considera aún más antiguo, y debe haber habido teorías matemáticas en las que se basó. Incluso en épocas posteriores, encontramos que la astronomía motivó un considerable desarrollo matemático, especialmente en el campo de la trigonometría.
Mucho se ha escrito sobre las construcciones matemáticas que se encuentran en la literatura védica. En particular, el Shatapatha Brahmana, que forma parte del Shukla Yajur Veda, contiene descripciones detalladas de la construcción geométrica de los altares para los yajnas. Aquí, la tecnología de fabricación de ladrillos de la civilización del valle del Indo tuvo un nuevo uso. Como de costumbre, hay diferentes interpretaciones de las fechas de los textos védicos, y en el caso de este Brahmana, el rango es de 1800 a aproximadamente 800 aC. Quizás sea aún más viejo.
Complementario a los Vedas son los Shulba Sutras. Se considera que estos textos datan de 800 a 200 a. C. Cuatro en número, llevan el nombre de sus autores: Baudhayana (600 a. C.), Manava (750 a. C.), Apastamba (600 a. C.) y Katyayana (200 a. C.). Los sutras contienen el famoso teorema comúnmente atribuido a Pitágoras. Algunos eruditos (como Seidenberg) sienten que este teorema es opuesto a la prueba geométrica de la que los griegos, y posiblemente los chinos, eran conscientes.
Los Shulba Sutras introducen el concepto de números irracionales, números que no son la razón de dos números enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es uno de esos números. Los sutras dan una manera de aproximar la raíz cuadrada del número usando números racionales a través de un procedimiento recursivo que en lenguaje moderno sería una ‘expansión en serie’.
Esto es, de lejos, el uso europeo de la serie Taylor.
Es interesante que las matemáticas de este período parecen haber sido desarrolladas para resolver problemas geométricos prácticos, especialmente la construcción de altares religiosos. Sin embargo, el estudio de la expansión de la serie para ciertas funciones ya insinúa el desarrollo de una perspectiva algebraica. En tiempos posteriores, encontramos un cambio hacia el álgebra, con la simplificación de la formulación algebraica y la suma de series que actúan como catalizadores para el descubrimiento matemático.
Matemáticas Jain (600 BCE a 500 CE)
Este es un tema que los académicos han comenzado a estudiar solo recientemente. El conocimiento de este período de la historia matemática aún es fragmentario, y es un área fértil para futuros estudios académicos. Así como la filosofía y la teología védicas estimularon el desarrollo de ciertos aspectos de las matemáticas, también lo hizo el surgimiento del jainismo. La cosmología jainista condujo a ideas del infinito. Esto, a su vez, condujo al desarrollo de la noción de órdenes de infinito como un concepto matemático. Por órdenes de infinito, nos referimos a una teoría por la cual un conjunto podría considerarse “más infinito” que otro. En el lenguaje moderno, esto corresponde a la noción de cardinalidad. Para un conjunto finito, su cardinalidad es la cantidad de elementos que contiene. Sin embargo, necesitamos una noción más sofisticada para medir el tamaño de un conjunto infinito. En Europa, no fue hasta que Cantors trabajó en el siglo XIX que se estableció un concepto adecuado de cardinalidad.
Además de las investigaciones sobre el infinito, este período vio desarrollos en varios otros campos, como la teoría de números, la geometría, la informática, con fracciones y combinatoria. En particular, la fórmula de recursión para coeficientes binomiales y el ‘triángulo de Pascal’ ya se conocían en este período.
Como se mencionó en la sección anterior, la astronomía se había estudiado en la India desde la antigüedad. Este tema a menudo se confunde con la astrología. Swami Vivekananda ha especulado que la astrología llegó a la India de los griegos y que los griegos tomaron prestada astronomía de la India. La evidencia indirecta de esto es proporcionada por un texto de Yavaneshvara (c. 200 CE) que popularizó un texto de astrología griega que data del 120 a. C.
El período 600 CE coincide con el surgimiento y el dominio del budismo. En la Lalitavistara, una biografía del Buda que puede haber sido escrita alrededor del siglo I d. C., hay un incidente en el que se le pide a Gautama que indique el nombre de grandes potencias de 10 a partir de 10. Puede dar nombres a los números. a 10 (tallaksana). El hecho mismo de que números tan grandes tengan nombres sugiere que los matemáticos de la época se sentían cómodos pensando en números muy grandes. Es difícil imaginar calcular con tales números sin alguna forma de sistema de valor posicional.
Números de Brahmi, el sistema de valor posicional y cero
Ninguna descripción de las matemáticas indias estaría completa sin una discusión de los números indios, el sistema de valor posicional y el concepto de cero. Los números que usamos incluso hoy en día se remontan a los números de Brahmi que parecen haber aparecido en 300 a. C. Pero los números de Brahmi no formaban parte de un sistema de valor posicional. Evolucionaron en los números Gupta alrededor de 400 CE y posteriormente en los números Devnagari, que se desarrollaron lentamente entre 600 y 1000 CE.
Para el año 600 CE, un sistema decimal de valor posicional estaba en uso en la India. Esto significa que cuando se escribe un número, cada símbolo que se usa tiene un valor absoluto, pero también un valor relativo a su posición. Por ejemplo, los números 1 y 5 tienen un valor por sí mismos, pero también tienen un valor relativo a su posición en el número 15. La importancia de un sistema de valor posicional apenas necesita ser enfatizada. Sería suficiente citar una observación a menudo citada por La-place: ‘ Es la India la que nos dio el ingenioso método de expresar todos los números por medio de diez símbolos , cada símbolo recibiendo un valor de posición y un valor absoluto; Una idea profunda e importante que nos parece tan simple ahora que ignoramos su verdadero mérito. Pero su misma simplicidad y la gran facilidad que ha prestado a los cálculos ponen a nuestra aritmética en el primer rango de inventos útiles; y apreciaremos más la grandeza del logro cuando recordemos que escapó del genio de Arquímedes y Apolonio, dos de los hombres más grandes producidos por la antigüedad.
Aparentemente, se conocía un sistema de valores posicionales en otras culturas; por ejemplo, los babilonios usaron un sistema de valor posicional sexagesimal ya en 1700 a. C., pero el sistema indio fue el primer sistema decimal. Además, hasta el 400 a. C., EL sistema babilónico tenía una ambigüedad inherente, ya que no había un símbolo de cero. Por lo tanto, no era un sistema completo de valor posicional en la forma en que lo consideramos hoy.
La elevación de cero al mismo estado que otros números implicó dificultades con las que lucharon muchos matemáticos brillantes. El principal problema era que las reglas de la aritmética tenían que formularse para incluir el cero. Mientras se dominaba la suma, la resta y la multiplicación con cero, la división era una pregunta más sutil. Hoy sabemos que la división por cero no está bien definida y, por lo tanto, debe excluirse de las reglas de la aritmética. Pero este entendimiento no llegó de una vez, y tomó los esfuerzos combinados de muchas mentes. Es interesante observar que no fue hasta el siglo XVII que se utilizó el cero en Europa, y el camino de las matemáticas de la India a Europa es objeto de mucha investigación histórica.
La era clásica de las matemáticas indias (500 a 1200 CE)
Los nombres más famosos de las matemáticas indias pertenecen a lo que se conoce como la era clásica. Esto incluye Aryabhata I (500 CE) Brahmagupta (700 CE), Bhaskara I (900 CE), Mahavira (900 CE), Aryabhatta II (1000 CE) y Bhaskarachrya o Bhaskara II (1200 CE).
Durante este período, surgieron dos centros de investigación matemática, uno en Kusumapura cerca de Pataliputra y el otro en Ujjain. Aryabhata I era la figura dominante en Kusumapura e incluso pudo haber sido el fundador de la escuela local. Su trabajo fundamental, el Aryabhatiya, estableció la agenda para la investigación en matemáticas y astronomía en India durante muchos siglos.
Uno de los descubrimientos de Aryabhata fue un método para resolver ecuaciones lineales de la forma
ax + by = c. Aquí a, byc son números enteros, y buscamos valores de x e y en números enteros que satisfagan la ecuación anterior. Por ejemplo, si a = 5, b = 2 y c = 8, entonces x = 8 e y = -16 es una solución. De hecho, hay infinitas soluciones:
x = 8 -2m
y = 5m -16
donde m es cualquier número entero, como se puede verificar fácilmente. Aryabhata ideó un método general para resolver tales ecuaciones, y lo llamó el método kuttaka ( o pulverizador). Lo llamó el pulverizador porque procedía por una serie de pasos, cada uno de los cuales requería la solución de un problema similar, pero con números más pequeños. Por lo tanto, a, byc se pulverizaron en números más pequeños.
El algoritmo euclidiano, que ocurre en los Elementos de Euclides, proporciona un método para calcular el máximo divisor común de dos números mediante una secuencia de reducciones a números más pequeños. Hasta donde sé, Euclides no sugiere que este método pueda usarse para resolver ecuaciones lineales del tipo anterior. Hoy, se sabe que si el algoritmo en Euclides se aplica en orden inverso, de hecho, dará como resultado el método de Aryabhata. Desafortunadamente, la literatura matemática todavía se refiere a esto como el algoritmo euclidiano extendido, principalmente por ignorancia del trabajo de Aryabhata.
Cabe señalar que Aryabhata ha estudiado las ecuaciones lineales anteriores debido a su interés en la astronomía. En los tiempos modernos, estas ecuaciones son de interés en la teoría de números computacionales y son de fundamental importancia en la criptografía.
Entre otras contribuciones importantes de Aryabhata está su aproximación de Pie a cuatro decimales (3.14146). En comparación, los griegos estaban usando la aproximación más débil 3.1429. También es importante el trabajo de Aryabhata sobre trigonometría, incluidas sus tablas de valores de la función seno así como la fórmula algebraica para calcular el seno de múltiplos de un ángulo.
El otro centro importante de aprendizaje matemático durante este período fue Ujjain, que fue el hogar de Varahamihira, Brahmagupta y Bhaskaracharya. El texto Brahma-sphuta-siddhanta de Brahmagupta, publicado en 628 CE, trataba sobre aritmética con números cero y negativos.
Al igual que con Aryabhata, Brahmagupta era astrónomo, y gran parte de su trabajo estuvo motivado por problemas que surgieron en la astronomía. Dio la famosa fórmula para una solución a la ecuación cuadrática
No está claro si Brahmagupta dio solo esta solución o ambas soluciones a esta ecuación. Brahmagupta también estudió la ecuación cuadrática en dos variables y buscó soluciones en números enteros. Tales ecuaciones se estudiaron solo mucho más tarde en Europa. Discutiremos este tema con más detalle en la siguiente sección.
Este período se cierra con Bhaskaracharya (1200 CE). En su trabajo fundamental sobre aritmética (titulado Lilavati ) refinó el método kuttaka de Aryabhata y Brahmagupta. El Lilavati es impresionante por su originalidad y diversidad de temas.
Hasta hace poco, era una opinión popular que no existían las matemáticas indias originales antes de Bhaskaracharya. Sin embargo, la discusión anterior muestra que su trabajo fue la culminación de una serie de distinguidos matemáticos que lo precedieron. Además, después de Bhaskaracharya, parece haber una brecha de doscientos años antes del próximo trabajo grabado. Quizás este es otro período de tiempo sobre el cual se necesita más investigación.
La solución de la ecuación de Pell
En el trabajo de Brahmagupta, la ecuación de Pell ya había aparecido. Esta es la ecuación que para un número entero dado D, pide números enteros x e y que satisfagan la ecuación
Xsquare – Dysquare = I.
En los tiempos modernos, surge en el estudio de unidades de campos cuadráticos y es un tema en el campo de la teoría de números algebraicos. Si D es un cuadrado completo (como 1, 4, 9, etc.), la ecuación es fácil de resolver, ya que tiene en cuenta el producto
(x- my) (x + my) = 1
donde D = m cuadrado. Esto implica que cada factor es + 1 o – 1 y los valores de x e y pueden determinarse a partir de eso. Sin embargo, si D no es un cuadrado, entonces ni siquiera está claro que haya una solución. Además, si hay una solución, no está claro cómo se pueden determinar todas las soluciones. Por ejemplo, considere el caso D = 2. Aquí, x = 3 e y = 2 da una solución. Pero si D = 61, incluso las soluciones más pequeñas son enormes.
Brahmagupta descubrió un método, al que llamó samasa, por el cual; Dadas dos soluciones de la ecuación, se podría encontrar una tercera solución. Es decir, descubrió una ley de composición sobre el conjunto de soluciones. El lema de Brahmagupta se conoció mil años antes de que Fermat, Legendre y otros lo redescubrieran en Europa .
Este método aparece ahora en la mayoría de los libros de texto y cursos estándar en teoría de números. El nombre de la ecuación es un accidente histórico. El matemático suizo Leonhard Euler asumió erróneamente que el matemático inglés John Pell fue el primero en formular la ecuación, y comenzó a referirse a ella por este nombre.
El trabajo de Bhaskaracharya ofrece un enfoque algorítmico ——- que él llamó el método cakrawala (cíclico) —— para encontrar todas las soluciones de esta ecuación. El método depende de calcular la expansión de fracción continua de la raíz cuadrada de D y usar los convergentes para dar valores de x e y. Nuevamente, este método se puede encontrar en la mayoría de los libros modernos sobre teoría de números, aunque las contribuciones de Bhaskaracharya no parecen ser bien conocidas.
Matemáticas en el sur de la India
Describimos arriba los centros en Kusumapara y Ujjain. Ambas ciudades están en el norte de la India. También había una floreciente tradición matemática en el sur de la India que discutiremos brevemente en esta sección.
Mahavira es un matemático perteneciente al siglo IX que probablemente era de la actual Karnataka. Estudió el problema de las ecuaciones cúbicas y cuárticas y las resolvió para algunas familias de ecuaciones. Su trabajo tuvo un impacto significativo en el desarrollo de las matemáticas en el sur de la India. Su libro Ganita – sara– sangraha amplifica el trabajo de Brahmagulpta y proporciona una referencia muy útil para el estado de las matemáticas en su día. No está claro qué otros trabajos pudo haber publicado; La investigación adicional sobre el alcance de sus contribuciones probablemente sería muy fructífera.
Otro matemático notable del sur de la India fue Madhava de Kerala. Madhava pertenece al siglo XIV. Descubrió expansiones de series para algunas funciones trigonométricas como el seno, el coseno y el arcotangente que no se conocían en Europa hasta después de Newton. En la terminología moderna, estas expansiones son la serie Taylor de las funciones en cuestión.
Madhava dio una aproximación a Pie de 3.14159265359, que va mucho más allá de los cuatro decimales calculados por Aryabhata. Madhava dedujo su aproximación a partir de una expansión en serie infinita para Pie by 4 que se conoció en Europa solo varios siglos después de Madhava (debido al trabajo de Leibniz).
El trabajo de Madhava con las expansiones en serie sugiere que descubrió elementos del cálculo diferencial o casi lo hizo. Esto merece un análisis más detallado. En un trabajo en 1835, Charles Whish sugirió que la Escuela Kerala había sentado las bases para un sistema completo de fluxiones. La teoría de fluxions es el nombre dado por Newton a lo que hoy llamamos el cálculo diferencial. Por otro lado, algunos académicos han sido muy desdeñosos con las contribuciones de la Escuela Kerala, alegando que nunca progresó más allá de algunas expansiones de la serie. En particular, la teoría no se desarrolló en una herramienta poderosa como lo hizo Newton. Notamos que fue alrededor de 1498 que Vasco da Gama llegó a Kerala y comenzó la ocupación portuguesa. A juzgar por la evidencia en otros sitios, no es probable que los portugueses estuvieran interesados en alentar o preservar las ciencias de la región. Sin duda, se necesita más investigación para descubrir dónde está la verdad.
Madhava engendró una escuela de matemáticas en Kerala, y entre sus seguidores se pueden notar Nilakantha y Jyesthadeva. Es debido a los escritos de estos matemáticos que conocemos el trabajo de Machala, ya que todos los escritos de Madhava parecen estar perdidos.
Matemáticas en la Edad Moderna
En tiempos más recientes ha habido muchos descubrimientos importantes hechos por matemáticos de origen indio. Mencionaremos el trabajo de tres de ellos: Srinivasa Ramanujan, Harish-Chandra y Manjul Bhargava.
Ramanujan (1887-1920) es quizás el más famoso de los matemáticos indios modernos. Aunque produjo resultados significativos y hermosos en muchos aspectos de la teoría de números, su descubrimiento más duradero puede ser la teoría aritmética de formas modulares. En un importante artículo publicado en 1916, inició el estudio de la función Pie. Los valores de esta función son los coeficientes de Fourier de la forma de cúspide normalizada única de peso 12 para el grupo modular SL2 (Z). Ramanujan demostró algunas propiedades de la función y conjeturó muchas más. Como resultado de su trabajo, Hecke desarrolló la teoría aritmética moderna de formas modulares, que ocupa un lugar central en la teoría de números y la geometría algebraica.
Harish-Chandra (1923-1983 ) es quizás el matemático indio menos conocido fuera de los círculos matemáticos. Comenzó su carrera como físico, trabajando bajo Dirac. En su tesis, trabajó en la teoría de la representación del grupo SL2 (C). Este trabajo lo convenció de que era realmente un matemático, y pasó el resto de su vida académica trabajando en la teoría de la representación de grupos semi-simples. Durante la mayor parte de ese período, fue profesor en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey. Sus documentos recopilados publicados en cuatro volúmenes contienen más de 2.000 páginas. Su estilo es conocido como meticuloso y minucioso y su trabajo publicado tiende a tratar el caso más general desde el principio. Esto contrasta con muchos otros matemáticos, cuyo trabajo publicado tiende a evolucionar a través de casos especiales. Curiosamente, el trabajo de Harish-Chandra formó la base de la teoría de las formas automorfas de Langlands, que son una vasta generalización de las formas modulares consideradas por Ramanujan.
Manjul Bhargava (n. 1974) descubrió una ley de composición para formas cuadráticas ternarias. En nuestra discusión sobre la ecuación de Pell, indicamos que Brahmagupta descubrió una ley de composición para las soluciones. Identificar un conjunto de importancia y descubrir una estructura algebraica como una ley de composición es un tema importante en las matemáticas. Karl Gauss, uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos, demostró que las formas cuadráticas binarias, es decir, las funciones de la forma
axsquare + bxy + cysquare
donde a, b y c son enteros, tienen dicha estructura. Más precisamente, el conjunto de órbitas primitivas SLsquare (Z) de formas cuadráticas binarias de D discriminante dado tiene la estructura de un grupo abeliano. Después de este trabajo fundamental de Gauss, no había habido progreso durante varios siglos en descubrir tales estructuras en otras clases de formas. El impresionante trabajo de Manjul Bhargava en su tesis doctoral, publicado en varios artículos en los anales de las matemáticas, muestra cómo abordar esta pregunta para formas binarias y ternarias cúbicas (y otras de mayor grado). El trabajo de Bhargava, quien actualmente es Profesor de Matemáticas en la Universidad de Princeton, es profundo, hermoso y en gran medida inesperado. Tiene muchas ramificaciones importantes y probablemente formará un tema de estudio matemático al menos para las próximas décadas.