¿Qué son las Srautasutras, Grihya-sutras y Sulvasutras? La historia es el mejor espejo

Te diré ciertas cosas sobre Sulvasutras que sé, por la investigación que he realizado.

1.1.1

Los Śulvasūtras

Los textos matemáticos más antiguos de la tradición védica son los Śulvasūtras que forman parte de la sección Śrauta de Kalpa Vedāńga. En los Śulvasūtras se observan principios matemáticos muy notables y ricos, particularmente la geometría. La palabra Śulva (o Śulba ) se deriva del verbo-raíz, Śulv o Śulb que significa medir. Dado que para medir la longitud y el ancho de la cuerda ( rajju ) se utilizó, la palabra Śulva, con el tiempo, llegó a significar una cuerda. De hecho, Geometría (ahora conocida como Rekhāgaņita ) fue llamado Śulva Sāstra o Rajju Sāstra en la antigua http: // veces. Se cree que estos Śulvasūtras fueron compuestos alrededor de ocho o nueve siglos antes de Cristo. [1]

En la religión védica, cada hombre de la casa (salvo los sanyasis que se concentrarían en la meditación durante años sin interrupciones) tenía que hacer ciertos actos de adoración todos los días. Sería pecaminoso si los descuidara. Para propósitos de adoración, él mantendría constantemente en su casa tres tipos de Agnis o fuegos que los abrigan en ciertos altares de diseños especiales. Los altares requeridos tuvieron que ser construidos con mucho cuidado para ajustarse a ciertas formas y áreas específicas. [2] Si bien los tres Agnis debían usarse para los Pujas o actos de adoración diarios o de rutina, hubo sacrificios o Pujas más elaborados para alcanzar objetos o deseos apreciados. Se llamaron Kamyagnis. Los altares de sacrificio para estos Kamyagnis requerían construcciones más complicadas que involucraban combinaciones de rectángulos, triángulos y trapecios. Está claro que estos procesos requieren un conocimiento claro de las propiedades de los triángulos, rectángulos y cuadrados, propiedades de figuras similares y una solución del problema de “cuadrar el círculo” y su inverso, “rodear el cuadrado” (es decir, construir un cuadrado igual en área a un círculo dado, y viceversa ). [3]

1.1.1.1

Fuente y origen

Actualmente solo se conocen siete de los Śulvasūtras . Son conocidos con los nombres de Baudhāyana, Āpasthamba, Kātyāyana, Manava, Maitrayana, Varaha y Vadhūla por los nombres de los Rishis o sabios que los escribieron. El Kātyāyana Sūtra pertenece a la sección de los Vedas llamada Sukla Yajurveda, mientras que el resto pertenece a Krishna Yajurveda. El Bodhayana, Āpasthamba y Kātyāyana Śulvas son importantes desde el punto de vista matemático. [4]

Las fechas de estos Śulvasūtras se estimaron entre 800 a. C. y 500 a. C. No hay conocimiento sobre la existencia de ninguna Śulvas antes de estos siete Sūtras. Debe enfatizarse que los escritores de los Śulvasūtras solo escribieron y codificaron las reglas para la construcción de los altares, que estaban en boga desde la antigüedad. No fueron las personas que especificaron y dirigieron las reglas para la construcción de los altares. [5]

1.1.1.2

Teoremas simples en Śulvasūtras

Las Śulvas explican una gran cantidad de construcciones geométricas simples: construcciones de cuadrados, rectángulos, paralelogramos y trapecios. Los siguientes teoremas geométricos se mencionan explícitamente o se implican claramente en las construcciones de los altares de las formas y tamaños prescritos. [6]

La diagonal de un rectángulo lo divide en dos partes iguales.

si.

La diagonal de un rectángulo se biseca entre sí y las áreas opuestas son iguales.

La perpendicular a través del vértice de un triángulo isósceles en la base divide el triángulo en mitades iguales.

re.

Un rectángulo y un paralelogramo en la misma base y entre los mismos paralelos son iguales en área.

mi.

Las diagonales de un rombo se bisecan entre sí en ángulo recto.

El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. (El famoso teorema conocido después del nombre de Pitágoras)

sol.

Propiedades de figuras rectilíneas similares.

Si la suma de los cuadrados en dos lados de un triángulo es igual al cuadrado en el tercer lado, entonces el triángulo está en ángulo recto. (¡Esto es lo contrario del teorema de Pitágoras, no es el teorema de Śulva !)

1.1.1.3

¿Cómo se derivaron los teoremas matemáticos?

Estos teoremas de Śulvasūtras mencionados anteriormente cubren aproximadamente los primeros dos libros y el sexto libro de los ‘Elementos’ de Euclides. La forma en que se obtuvieron estos teoremas es una cuestión para la que no hay una respuesta definitiva disponible. Todos sabemos que la geometría de Euclides se basa en ciertos axiomas y postulados como señalé en el primer capítulo [7] y las pruebas implican una aplicación lógica estricta de estos. Los métodos lógicos de la geometría griega ciertamente no son discernibles en la geometría hindú. Ningún libro sobre matemáticas hindúes explica el sistema de axiomas y postulados asumidos, y esto en sí mismo debería refutar de alguna manera la afirmación inventada de que las matemáticas hindúes son prestadas de los griegos. Al mismo tiempo, puede no ser correcto concluir que los teoremas anteriores se afirmaron como una cuestión de experiencia y medición. A las personas que podrían distinguir y resolver problemas complicados de aritmética, álgebra y trigonometría esférica se les debe acreditar cierta lógica en su trabajo. Las Śulvas no son tratados matemáticos formales. Solo son complementos de ciertas obras religiosas. La pregunta tiene que terminar con estas observaciones. [8] Y probablemente de esos mismos comentarios surja, un apoyo válido para la idea, la hipótesis y el destino final de mi intento en este trabajo de investigación.

Para aclarar la visión, se podría afirmar que los teoremas de Pitágoras eran conocidos, probados y aplicados en casos por los hindúes védicos incluso antes de que Pitágoras naciera en el siglo VI a. C. Por supuesto, los eruditos védicos no probaron el teorema aunque lo declararon y lo usaron. ¡Pero tampoco hay evidencia de que Pitágoras lo haya probado! La conocida prueba dada por Euclides a este respecto puede ser la suya. Pero el teorema en sí era conocido y ampliamente utilizado desde tiempos muy tempranos, ya que mencionamos unos 5 o 6 siglos antes del nacimiento de Euclides. ¡Es interesante notar que A. Burk incluso argumenta que el muy viajado Pitágoras tomó prestado el resultado de la India! [9]

1.1.1.4

Construcciones geométricas contenidas en Śulvas

Los Vedis discutidos en los Śulvasūtras son de varias formas. Sus construcciones requieren un buen conocimiento de las propiedades del cuadrado, el rectángulo, el rombo, el trapecio, el triángulo y, por supuesto, el círculo. Las siguientes son algunas de las construcciones geométricas importantes utilizadas en los Śulvasūtras . [10]

(yo)

Para dividir un segmento de línea en cualquier número de partes iguales

(ii)

Para dividir un círculo en cualquier número de áreas iguales dibujando diámetros ( Baudhāyana, II. 73-74, Āpasthamba VII. 13-14)

(iii)

Para dividir un triángulo en un número de áreas iguales y similares ( Baudhāyana, III. 256)

(iv)

Dibujar una línea recta en ángulo recto a una línea dada ( Kātyāyana I. 3)

(v)

Dibujar una línea recta en ángulo recto a una línea dada desde un punto dado en ella. ( Kātyāyana I. 3)

(vi)

Para construir un cuadrado en un lado dado

(vii)

Para construir un rectangular de longitud y anchura dada. ( Baudhāyana I. 36-40)

(viii)

Para construir un trapecio isósceles de altitud, cara y base dadas. ( Baudhāyana I. 41, Āpasthamba V. 2-5)

(ix)

Para construir un paralelogramo que tenga los lados dados en una inclinación dada. ( Āpasthamba XIX. 5)

(X)

Para construir un cuadrado igual a la suma de dos cuadrados diferentes. ( Baudhāyana I. 51-52, Āpasthamba II. 4-6, Kātyāyana II. 22)

(xi)

Para construir un cuadrado equivalente a dos triángulos dados.

(xii)

Para construir un cuadrado equivalente a dos pentágonos dados. ( Baudhāyana III. 68, 288, Kātyāyana IV. 8)

(xiii)

Para construir un cuadrado igual a un rectángulo dado en el área. ( Baudhāyana I. 58, Āpasthamba II. 7, Kātyāyana III. 2)

(xiv)

Para construir un rectángulo que tenga un lado dado y equivalente a un cuadrado dado.

(xv)

Para construir un trapecio isósceles que tenga una cara dada y equivalente a un cuadrado o rectángulo dado. ( Baudhāyana I. 55)

(xvi)

Para construir un triángulo equivalente a un cuadrado dado. ( Baudhāyana I. 56)

(xvii)

Para construir un cuadrado equivalente a un triángulo isósceles dado. ( Kātyāyana IV. 5)

(xviii)

Para construir un rombo equivalente a un cuadrado o rectángulo dado. ( Baudhāyana I. 57, Āpasthamba XII. 9)

(xix)

Para construir un cuadrado equivalente a un rombo dado. ( Kātyāyana IV. 6)

1.1.1.5

Cuadrando un círculo

Uno de los mayores problemas que había permanecido sin resolver durante siglos en la historia de las matemáticas, hasta hace poco, era lo que popularmente se conoce como “cuadrar el círculo”, es decir, construir, usando solo regla y compás, un cuadrado cuya área es igual a la de un círculo dado. Es realmente notable que este mismo problema y viceversa, haya sido abordado por los autores de los Śulvasūtras. Proporcionaron métodos prácticos para construir un cuadrado cuya área es igual a la de un círculo dado y viceversa. Por supuesto, sus construcciones implicaron aproximar el valor del conocido número constante Pi a 3.088 ( Pi es la razón de la circunferencia de cualquier círculo a su diámetro). La aproximación hecha por los védicos Ŗṣis es bastante justificable y admirable a la luz de las herramientas y métodos matemáticos crudos disponibles para ellos hace miles de años. Ahora, sin embargo, en las matemáticas modernas se ha establecido que es imposible una construcción exacta para “Cuadrar un círculo” o “rodear un cuadrado” (en el sentido de las áreas). Por cierto, debe señalarse que el valor aproximado de Pi utilizado en Śulvasūtras es ciertamente mucho mejor que el valor bíblico, 3 (ver Reyes VII. 23 y Crónicas IV. 2) dado muchos siglos después. De hecho, es tan tarde como en 1761 DC que Lambert demostró que Pi es “irracional” y solo en 1882 DC que Lindemann estableció que Pi es trascendental. [11]

1.1.1.6

Conocimiento védico de los números irracionales

El fondo esencialmente aritmético de las matemáticas de Śulva debe contrastarse con el fondo esencialmente geométrico característico de las matemáticas griegas. Fracciones simples y operaciones sobre ellos están disponibles en las Śulvas . Además, encontramos el uso de números irracionales en ellos. Los surds (números irracionales) de la forma √2, √3 etc. se llaman Karanis, por lo tanto √2 es dwi-karani, √3 es tri-karani, √1 / 3 es triteeya karani, √1 / 7 es saptama karani, etc. [12]

La forma de Ashwamedhiki Vedika es un trapecio isósceles cuya cabeza, pie y altitud son respectivamente 24√2, 30√2, 36√2 prakramas. Su área se afirma que es 1944 prakramas (el cuadrado debe ser entendido).

Área = 24√2 * 1/2 (30√2 * 36√2) = 1944.

Esto indica el conocimiento del método para encontrar el área de un trapecio y operaciones simples en surds. [13]

Una aproximación notable de √2 ocurre en cada uno de los tres Śulvas Bodhayana, Āpasthamba y Kātyāyana.

√2 = 1 + 1/3 + 1 / (3.4) – 1 / (3.4 34)….

Esto da √2 = 1.4142156 ………, mientras que el valor verdadero es 1.414213 ………… La aproximación es, por lo tanto, correcta a cinco decimales y se expresa mediante fracciones unitarias simples. El problema surge evidentemente en la construcción de un cuadrado doble de un cuadrado determinado en el área. Las Śulvas no contienen ninguna pista sobre la forma en que se llegó a esta notable aproximación. Se han propuesto muchas teorías o explicaciones plausibles. [14]

Este punto al hecho de que la India, gracias a las matemáticas védicas, fue la primera nación en usar números irracionales. Hay que creer que los hindúes védicos conocían su irracionalidad. Los griegos también usaron números irracionales. Si AB es un segmento dado, Pitágoras y otros describieron los métodos para construir los segmentos de longitud √2AB, √3AB, √5AB, etc. Pero en la matemática griega no se encuentran aproximaciones racionales a √2, √3 etc. Hay algún problema de las operaciones aritméticas en números irracionales. Esto se explica fácilmente, porque el conocimiento requerido de aritmética no estaba disponible para los griegos. También se tendrá en cuenta que, según estimaciones sin prejuicios, los Śulvasūtras son unos dos o tres siglos antes de Pitágoras. [15]

[1] Rao, Matemáticas y astronomía indias, 12.

[2] Mehta, Ciencias positivas en los Vedas, 117.

[3] Iyengar, The History of Ancient Indian Mathematics, 6.

[4] Iyengar, The History of Ancient Indian Mathematics, 7.

[5] Iyengar, The History of Ancient Indian Mathematics, 8.

[6] Rao, Matemáticas y astronomía indias, 14.

[7] Capítulo I (1.2.1) Geometría, 16-21.

[8] Iyengar, The History of Ancient Indian Mathematics, 9.

[9] Rao, India Matemáticas y Astronomía, 15.

[10] Rao, Matemáticas y astronomía indias, 15-17.

[11] Rao, Matemáticas y astronomía indias, 18.

[12] Iyengar, The History of Ancient Indian Mathematics, 13.

[13] Iyengar, The History of Ancient Indian Mathematics, 13.

[14] Iyengar, The History of Ancient Indian Mathematics, 14.

[15] Iyengar, The History of Ancient Indian Mathematics, 15.