¿Por qué la división de números ‘impares’ y ‘pares’ es tan importante para el cálculo griego antiguo?

Answer 1

Por supuesto, no existe un “cálculo” griego, pero los griegos usaron los números pares / impares para probar teoremas basados ​​en contradicciones . En otras palabras, aquí hay una secuencia lógica típica:

• suponga que “[matemáticas] a [/ matemáticas]” es impar (o par)
• Suponga que [matemáticas] A [/ matemáticas] (que se basa en “[matemáticas] a [/ matemáticas]”) es verdadero
• Si [math] A [/ math] es verdadero, entonces “[math] b [/ math]” debe ser par (o impar)
• Pero si “[matemática] b [/ matemática] es par (o impar) entonces” [matemática] a [/ matemática] “debe ser par (o impar), lo cual es una contradicción

Un ejemplo clásico es la prueba de que [math] \ sqrt 2 [/ math] es irracional:

Una prueba de que la raíz cuadrada de 2 es irracional

En la prueba, se supone que [math] \ sqrt 2 = a / b [/ math] (a racional), lo que implica que uno de [math] a [/ math] o [math] b [/ math] es impar ( de lo contrario, la relación se puede simplificar aún más), pero luego se demuestra que AMBOS [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] deben ser pares, lo cual es una contradicción, entonces [matemática] \ sqrt 2 [/ matemáticas] no puede ser racional, por lo que es irracional.

Answer 2

Comenzó con los pitagóricos, un culto místico dedicado a los números, la geometría y la filosofía. También fue un culto político.

El pitagorismo incluía el principio de que los números determinan todo, su lema es “todo es número”. También tenían una tabla de opuestos, y entre esos opuestos estaban “impar” y “par”. Incluso identificaron números y conceptos: 2 para mujeres, 3 para hombres, 4 para justicia, 5 para matrimonio.

Las primeras pruebas, debido a los Pythangoreans, en matemáticas giraron en torno a los conceptos de pares e impares. Están grabados en el medio del Libro IX de los Elementos de Euclides . Las proposiciones nos parecen elementales, como la Prop. IX.27: “Si un número par se resta de un número impar, entonces el resto es impar”.

Este es el tercero de los libros de Euclides sobre teoría de números y podría preguntarse por qué incluyó tales proposiciones básicas en el tercer libro cuando había hecho cosas mucho más interesantes que involucraban números primos y proporciones anteriormente. Es porque necesitaba esas proposiciones para probar la última proposición en el libro Prop. IX.36 en el que explica cómo construir incluso números perfectos.

Ese fue uno de los primeros usos de la paridad (números pares e impares) en matemáticas reales. Otra aplicación fue la irracionalidad de [math] \ sqrt 2 [/ math], o como lo habrían expresado los antiguos geómetras, la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado de un cuadrado. (Dos segmentos de línea son conmensurables, si hay un segmento de línea más corto que mida a ambos exactamente).

Las aplicaciones a la música se remontan al propio Pitágoras cuando asignó al intervalo musical que llamamos octava, la proporción 2: 1. Los clarinetes y otros instrumentos de viento cerrados solo tienen armónicos impares, pero los instrumentos de viento abiertos tienen armónicos pares e impares.

La paridad surge en los lugares más extraños. Existe el bit de paridad al transmitir un byte (8 bits). Cada grupo simple finito tiene un elemento de orden par. Una función [matemática] f [/ matemática] es incluso si [matemática] f (x) = f (-x) [/ matemática] pero impar si [matemática] f (-x) = – f (x) [/ matemática ] En las representaciones de funciones de la serie de potencias, las funciones pares solo tienen potencias pares de [math] x [/ math] mientras que las funciones impares solo tienen potencias impares de [math] x [/ math]. El teorema de Borsuk-Ulam dice una función impar continua [matemáticas] f: S ^ n \ a \ mathbf R ^ n [/ matemáticas] desde la esfera [matemáticas] n [/ matemáticas] al espacio [matemáticas] n [/ matemáticas] adquiere el valor [matemática] 0 [/ matemática]. Existen muchas aplicaciones para la teoría de números avanzada.

Answer 3

La gama de autores que menciona, Pitágoras a Boecio, es muy anterior a la invención del cálculo por Newton y Leibniz. Lo que quieren decir con cálculo está más en línea con lo que los matemáticos modernos describirían como teoría aritmética o numérica, donde los conceptos de números pares e impares son realmente importantes, aunque no precisamente fundamentales.