No estaban directamente relacionados, pero hay una serie de vínculos culturales. Los mongoles y los turcos eran originarios del norte de Asia. Eran esencialmente grupos lingüísticos en lugar de culturas unificadas, hablantes de turco principalmente al oeste y hablantes de mongol al este. Tenían estilos de vida muy similares (equitación, nómadas que viven en las estepas) y siguieron ciclos políticos similares (cada pocas generaciones, una confederación de tribus establecería el control sobre al menos parte de las estepas y posiblemente las regiones circundantes, duraría unas pocas décadas, y luego desmoronarse). Las confederaciones predominantemente turcas podrían incluir algunas tribus de habla mongola y viceversa.
Dicho esto, son de orígenes muy diferentes. Los antepasados de los otomanos eran turcos que habían venido a Anatolia desde el oeste de Asia Central, casualmente al mismo tiempo que Genghis Khan recién comenzaba al otro lado de Asia Central. Los otomanos se establecieron como líderes de un emirato en el oeste de Anatolia después del colapso del imperio selyúcida. Ni ellos ni su territorio original estuvieron sujetos a los mongoles, que nunca llegaron más allá de las fronteras occidentales de Anatolia, y los otomanos no se expandieron hacia el este hasta los antiguos territorios mongoles hasta mucho después de que el imperio mongol se derrumbara.
En cuanto a las similitudes que estás viendo: las diéresis son una consecuencia de los idiomas turco y mongol que usan vocales que, cuando se transcriben al inglés, las requieren. Estos idiomas pueden compartir algunas palabras, pero en última instancia pertenecen a familias de idiomas diferentes. “Khan” es un título (que significa algo así como “jefe” o “rey”), no un nombre, usado durante mucho tiempo en las estepas asiáticas, ni está relacionado de ninguna manera con el Islam. Los mongoles solían usar “khan”, mientras que los turcos solían usar el “khagan” relacionado, aunque el uso era inconsistente. A raíz del imperio mongol, Khan tendió a ser utilizado específicamente para denotar a los gobernantes descendientes del linaje de Genghis, pero no creo que los otomanos obtuvieran ese memo en particular. En cualquier caso, a medida que las dinastías relacionadas con Genghis comenzaron a debilitarse, los gobernantes en Asia Central a menudo cambiaron al “emir” árabe, que es consecuencia de la influencia musulmana.
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