Este artículo trata sobre nociones básicas de grupos en matemáticas. Para un tratamiento más avanzado, ver Teoría de grupos.
Las manipulaciones de este Cubo de Rubik forman el grupo Cubo de Rubik.
En matemáticas, un grupo es una estructura algebraica que consiste en un conjunto de elementos equipados con una operación que combina dos elementos para formar un tercer elemento y que satisface cuatro condiciones llamadas axiomas de grupo, a saber, cierre, asociatividad, identidad e invertibilidad. Uno de los ejemplos más familiares de un grupo es el conjunto de enteros junto con la operación de suma, pero la formalización abstracta de los axiomas del grupo, separados de la naturaleza concreta de cualquier grupo en particular y su operación, se aplica mucho más ampliamente. Permite que las entidades con orígenes matemáticos muy diversos en álgebra abstracta y más allá se manejen de manera flexible mientras se conservan sus aspectos estructurales esenciales. La ubicuidad de los grupos en numerosas áreas dentro y fuera de las matemáticas los convierte en un principio organizador central de las matemáticas contemporáneas.
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Los grupos comparten un parentesco fundamental con la noción de simetría. Por ejemplo, un grupo de simetría codifica características de simetría de un objeto geométrico: el grupo consiste en el conjunto de transformaciones que dejan el objeto sin cambios y la operación de combinar dos de esas transformaciones realizando una tras otra. Los grupos de mentiras son los grupos de simetría utilizados en el modelo estándar de física de partículas; Los grupos de Poincaré, que también son grupos de Lie, pueden expresar la simetría física subyacente a la relatividad especial; y los grupos de puntos se utilizan para ayudar a comprender los fenómenos de simetría en la química molecular.
El concepto de grupo surgió del estudio de ecuaciones polinómicas, comenzando con Évariste Galois en la década de 1830. Después de las contribuciones de otros campos, como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870. La teoría de grupo moderna, una disciplina matemática activa, estudia a los grupos por derecho propio.
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Para explorar grupos, los matemáticos han ideado varias nociones para dividir los grupos en piezas más pequeñas y mejor comprensibles, como subgrupos, grupos de cocientes y grupos simples. Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de grupo también estudian las diferentes formas en que un grupo puede expresarse concretamente, tanto desde el punto de vista de la teoría de la representación (es decir, a través de las representaciones del grupo) como de la teoría de grupo computacional. Se ha desarrollado una teoría para grupos finitos, que culminó con la clasificación de grupos simples finitos, completada en 2004.
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Desde mediados de la década de 1980, la teoría de grupos geométricos, que estudia grupos generados finitamente como objetos geométricos, se ha convertido en un área particularmente activa en la teoría de grupos.
