¿Estaba Avro Anson involucrado en la batalla de Gran Bretaña?

Sí, lo era. Ansons voló con el Comando Costero, principalmente en reconocimiento, escolta costera y patrullas antisubmarinas, pero fueron reemplazados gradualmente por otros tipos con mejor velocidad, alcance y carga útil, como el Lockheed Hudson.
En un par de ocasiones, Ansons logró derribar aviones alemanes sobre el Mar del Norte con su armamento mínimo (uno Do 18 IIRC).
Ocasionalmente, se utilizaron en un papel más agresivo contra el envío que se estaba reuniendo para la invasión planeada de Gran Bretaña (Operación Sealion). El Escuadrón 217 voló casi 200 misiones de bombardeo (por la noche) en septiembre de 1940, principalmente contra Brest; notablemente, ni un solo Anson se perdió. Los pilotos informaron que hubo muchos ataques de estallidos frente a ellos y creyeron que los artilleros apuntaban demasiado porque no se daban cuenta de que sus objetivos eran aproximadamente 50 mph más lentos que el bombardero promedio de la RAF (fuente: Roy Conyers Nesbit, An Expendable Squadron, p 39-40).
Además de eso, Ansons también se utilizó mucho para el entrenamiento en ese período y más tarde. Era fácil de volar, perdonaba los errores del piloto y era muy económico: podía permanecer en el aire durante una hora con 25 galones de combustible, mientras que un Hudson, por ejemplo, consumía casi el triple. Esto lo convirtió en una opción ideal para entrenar pilotos de bombarderos y navegantes.

Su papel principal en el estallido de la guerra y en 1940 y el período BoB fue con el Comando Costero.

El Anson equipó no menos de diez escuadrones de reconocimiento general al estallar la guerra, aunque fue reemplazado gradualmente. El Anson tenía un alcance operativo limitado de 600 millas, lo que lo hacía lejos de ser adecuado para el papel. El Comando Costero solicitó Blenheims en 1940, ¡pero en su lugar se les ofreció el Beaufort y el realmente horrible Botha!

También sirvió ampliamente con varios comandos de entrenamiento

No.

El Anson se usó principalmente para el Comando Costero de la RAF y su carga útil no era lo suficientemente grande como para ser utilizado contra el campo de aviación alemán en el continente (algo para lo que se usaron otros tipos de Comando Costero y Bombardero de la RAF).

El Anson en el momento de la Batalla de Gran Bretaña se utilizó para las misiones de la Patrulla Marítima.

Sí, el Avro Anson se usó antes, durante y después de la Segunda Guerra Mundial.