Según lo cubierto por otras respuestas, los indios tenían vínculos comerciales e influencia sobre el sudeste asiático que abarcaban hoy en día Indonesia, Malasia, Tailandia, Camboya, Singapur, Vietnam, Laos, Filipinas. Los nombres de lugares en estos países reflejan la influencia del idioma sánscrito y el Ramayana. Pocos ejemplos: al norte de Bangkok se encuentra la ciudad histórica de Ayutthaya (llamada así por Ayodhya), el hermoso destino de Bali en Indonesia tiene varios templos hindúes y más del 90% de los residentes son hindúes, complejo de templos en Angkor Wat, Camboya se dedicó al Señor Vishnu y más tarde Budismo, Madura en Indonesia puede ser nombrado después de Madurai o incluso Mathura. Consulte este enlace de Wikipedia para obtener más detalles: el hinduismo en el sudeste asiático

Sri Lanka, siendo el más cercano a la India, por supuesto, tuvo visitantes e influencia de la India. El rey Ashoka había enviado a su hijo (Mahinda) y a su hija para promover el budismo allí y allí, el budismo echó raíces allí. Los eruditos budistas de la universidad de Nalanda viajaban habitualmente a China.
En el frente occidental, el actual Afganistán quedó bajo la influencia de antiguos imperios indios. Kandahar se llamaba región de Gandhara y hay varios sitios budistas allí (Bamiyan, por ejemplo). Los comerciantes indios de Multan (llamados Mulasthana) y Sindh viajaron hacia el oeste en un camino de seda hacia Asia Central. El templo del fuego en Bakú, Azerbaiyán, recuerda esos vínculos: el hinduismo en Azerbaiyán. Al igual que los viajes por mar al sudeste asiático, hubo muchos viajes por tierra a través de la ruta de la seda a Irán (Persia), Irak, Azerbaiyán, etc. El Mar Caspio se llamaba Kashyapa, Maldivas proviene de Male Dweep al igual que Lakshadweep, que significa una lakh islas.
No he encontrado mención de visitantes indios a Europa. Pero eso no es porque no hubiera nada en Europa que los indios codiciaran. Fue porque el comercio en el Océano Índico estaba dominado por árabes que actuaban como intermediarios y, de la misma manera, la Ruta de la Seda por tierra estaba dominada por mongoles y asiáticos centrales. Hubo un floreciente negocio de especias, etc. desde la India hasta el imperio romano. La ciudad portuaria de Alepo en Siria era una escala y más al oeste de Venecia era donde terminaban todos los barcos. En un momento, los líderes romanos se quejaron de que la población estaba consumiendo tanto que perderían todo el oro y la plata por los lujos importados de la India. He leído sobre relatos de pocos indios que fueron llevados al imperio romano que serían hechos parte de un circo o eventos de gladiadores. Del mismo modo, las mujeres de Europa serían traídas para formar parte de los harenes de los reyes indios.
También vale la pena mencionar la comunidad de gitanos o personas ‘romaníes’ que supuestamente emigraron hace más de 1,000 años desde el norte de la India hacia el oeste y se encuentran en toda Europa e incluso en América del Norte y del Sur, donde emigraron aún más de Europa: personas romaníes
En el pasado más reciente, la esclavitud fue prohibida en 1833 y, como sustituto, los británicos y algunos otros países europeos comenzaron el Programa Indenture. Más de 3 millones de indios fueron llevados en las próximas décadas a Mauricio, Sudáfrica, Fiji, Guyana, Trinidad, etc. Fueron seguidos por comerciantes gujarati y otros trabajadores libres. Recientemente visité Fiyi, aquí hay una publicación de blog si alguien está interesado – The Curious Desi
Y luego, por supuesto, la migración en el pasado muy reciente a EE. UU., Reino Unido, Canadá, Oriente Medio, Australia, Nueva Zelanda.
Llegando a la pregunta original sobre por qué parece que los indios no visitaron otros países, pero griegos, portugueses, franceses, británicos, holandeses, daneses, árabes y chinos vinieron a la India: la razón es la falta de ‘documentación’ o la escritura de cualquier libro o relato de viaje. Comenzando con los griegos que escribieron libros como Indica, hay muchas obras maestras como una de Al-beruni, incluso Babur escribió Baburnama, Ibn-Battutah vino de Marruecos y pasó muchos años aquí y escribió sobre eso. Desde 1500 en adelante, hay una gran cantidad de escritos de británicos y franceses. ¿Puedes pensar en un solo libro escrito por algún indio en el pasado que cubra la cultura y la geografía de una tierra extranjera? De hecho, no solo en tierras extranjeras, nunca escribimos la historia de nuestro propio país que no sea Kalhana escribiendo Rajtarangini. Nada de malo con eso. Los indios obtuvieron excelentes resultados en materias como Matemáticas (Aryabhatta), Astronomía (Varios), Filosofía y Espiritualidad (Varios), Medicene, Literatura (Meghdoot de Kalidasa), Statecraft (Arthashastra), Gramática (Ashtadhyayi de Panini), pero me parece que la Historia, la Geografía, y la catalogación enciclopédica o la escritura de cuentas y registros fácticos no eran lo nuestro.
Espero que otros indios, especialmente los más jóvenes, tomen mi observación en el párrafo anterior amablemente y con una mente abierta. Me encantaría escuchar puntos de vista alternativos.