Ninguno en absoluto.
(Esta respuesta se refiere a Gran Bretaña, pero no puedo imaginar que sea diferente en otros países europeos con nobles supervivientes).
Un noble que se endeuda es tratado como cualquier otro deudor. Un noble que infringe la ley es tratado como cualquier otro criminal.
El único beneficio legal de ser noble es que puedes llamarte a ti mismo noble. Como regla general, la Oficina Británica de Pasaportes no le dará un pasaporte a nombre de ‘Lord Smith’ o ‘Baronesa Jones’ o lo que sea, a menos que pueda demostrarles que realmente es miembro de la nobleza. Puede afirmar que ‘Señor’ es su nombre de pila, pero en ese caso lo pondrán en el cuadro ‘Nombre’, no en el cuadro ‘Título’. (También esperarán que proporciones pruebas documentales de que ‘Lord’ realmente es tu primer nombre que usas en todas las situaciones).
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Puede haber beneficios sociales por ser miembro de la nobleza, por supuesto. Su título puede impresionar a una persona individual y decidir tratarlo con más respeto; quizás incluso doble las reglas a su favor. (Aunque, una vez más, dada la tendencia de la sociedad británica moderna no deferente, es posible que obtenga exactamente la reacción opuesta). Es posible que reciba invitaciones para fiestas de la sociedad y bodas reales. Sin embargo, ninguno de estos son privilegios o derechos legales.
Esa es la situación hoy. En tiempos pasados, por supuesto, los nobles tenían muchos más privilegios. En 1363, por ejemplo, se aprobó una ley que prohibía a cualquier persona que no sea un señor usar ropa adornada con armiño o bordada con joyas. (Esa ley ya no está en vigencia.) Además, solía ser el caso de que un noble que fue sentenciado a pena capital tenía derecho a pedir la muerte decapitando en lugar de colgando; ese privilegio se utilizó por última vez en 1747.
Los miembros de la nobleza acusados de delitos solían tener el derecho de insistir en un juicio por “un jurado de sus pares”, lo que en su caso significaba literalmente la nobleza del Reino Unido. Por lo tanto, su juicio se celebró frente a la Cámara de los Lores en lugar de un tribunal de justicia normal. Este derecho legal no fue abolido hasta el siglo XX, siendo utilizado por última vez en 1935. (Esta costumbre también figura, en forma ficticia, en uno de los libros de Lord Peter Wimsey de Dorothy L Sayers).
En cuanto a la Cámara de los Lores, ya no es el caso que los miembros de la Paridad tengan automáticamente un asiento en el Parlamento. Ese derecho fue abolido por la Ley de Reforma de la Cámara de los Lores en 1999. Los miembros de la Cámara de los Lores, que ahora son en su mayoría Life Peers nominados por los principales líderes del partido o un comité no partidista, tienen ciertos privilegios como resultado de su estado como miembros del Parlamento en lugar de como nobles. Como todos los parlamentarios, tienen derecho a la libertad de expresión absoluta dentro de los muros del Palacio de Westminster, por ejemplo.
Teóricamente, cualquier noble tiene derecho a exigir una audiencia con el Rey o la Reina para plantear asuntos de interés público y llamarlos la atención del monarca. Este derecho es obsoleto, dado que la Reina ya no tiene poder real, de todos modos sería inútil, y nunca se usa, pero nunca se ha abolido legalmente.
Reina consorte Máxima Zorreguieta, esposa del rey Willem-Alexander 
La princesa Mabel y el fundador de Wikipedia Jimmy Wales