Terry Moore tiene la respuesta más simple. Este es el camino difícil, que no implica el cambio de coordenadas.
Digamos que su curva es [matemática] y = f (x) [/ matemática], y un punto particular en la línea es [matemática] y_0 = f (x_0) [/ matemática].
Para encontrar la distancia de un punto a una línea, puede usar varias fórmulas equivalentes diferentes. La más simple es cuando la línea se da en la forma [matemática] ax + por + k = 0 [/ matemática] y la fórmula de la distancia es
[matemática] d = \ frac {| ax_0 + by_0 + k |} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemática].
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Para una línea [matemática] y = mx + c [/ matemática] use [matemática] a = m, b = -1, k = c, [/ matemática] entonces
[matemáticas] d = \ frac {| m x_0 – y_0 + c |} {\ sqrt {m ^ 2 + 1}} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] d ^ 2 = \ frac {(m x_0 – y_0 + c) ^ 2} {m ^ 2 +1} [/ matemáticas]
Ahora, si estuviéramos formando un sólido de revolución alrededor del eje x, usamos
[matemáticas] \ int \ pi y ^ 2 dx [/ matemáticas]
No podemos simplemente usar [math] \ int \ pi d ^ 2 dx [/ math] aquí. Como hay un ajuste para la pendiente de la línea. Mirando la fórmula básica, puede pensar en esto como sumar un montón de discos, cada uno es ancho dx. Para la línea inclinada, los discos tendrán un ancho variable.
Podemos encontrar el ancho en el que tenemos dos puntos en la curva [math] (x_0, y_0), (x_0 + \ delta x, y_0 + \ delta y) [/ math], forma el vector [math] \ mathbf {u} = (\ delta x, \ delta y) [/ math]. Queremos que la longitud de este vector se proyecte en la línea [math] y = mx + c [/ math], [math] \ delta t [/ math], en el diagrama.
Esto se puede hacer tomando el producto punto con un vector de longitud unitaria a lo largo de la línea [math] \ frac {1} {\ sqrt {1 + m ^ 2}} (1, m) [/ math]. Esto es
[matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {1 + m ^ 2}} (\ delta x + m \ delta y) [/ matemáticas].
Usando un número finito de pasos, el volumen del sólido de la revolución
[matemáticas] \ sum \ pi d ^ 2 \ frac {1} {\ sqrt {1 + m ^ 2}} (\ delta x + m \ delta y) [/ math]
Ahora [math] \ delta y = \ frac {\ delta y} {\ delta x} \ delta x \ approx f ‘(x) \ delta x [/ math] entonces la suma es
[matemáticas] \ sum \ pi d ^ 2 \ frac {1} {\ sqrt {1 + m ^ 2}} (\ delta x + m \ frac {\ delta y} {\ delta x} \ delta x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum \ frac {\ pi} {\ sqrt {1 + m ^ 2}} d ^ 2 (1 + m \ frac {\ delta y} {\ delta x}) \ delta x [/ math]
Tomando límites
[matemáticas] \ int \ frac {\ pi} {\ sqrt {1 + m ^ 2}} d ^ 2 (1 + m f ‘) dx [/ matemáticas]
Usando la fórmula para [matemáticas] d ^ 2 [/ matemáticas] con [matemáticas] x + 0 = x, y_0 = f (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ pi} {(1 + m ^ 2) ^ {\ frac32}} \ int (mx – f (x) + c) ^ 2 (1 + m f ‘(x)) dx [/ matemáticas]
No he examinado los límites de la integración. Esto dependería del problema exacto.