TL; DR: Sí, fueron diferentes. Uno era un Nawab musulmán con base en Arcot en Tamil Nadu. Otro era un reino hindú (musulmán durante Hyder-Tipu) basado en Mysore en la moderna Karnataka.
El siguiente mapa muestra aproximadamente las regiones: amarillo y naranja
Entiendo que es confuso. Tuve una confusión similar durante muchos años.
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Algo de historia:
Karnataka o Karnata es el nombre histórico sánscrito para las regiones de habla kannada de la India, así como Dravida (tamil), Utkala (Odia), Maharashtra (marathi) son los nombres sánscritos para esas regiones lingüísticas y culturales. La región fue referida de esta manera desde la mitología hasta la época medieval.
La confusión comenzó con los sultanes de Bijapur que conquistaron los territorios de Vijayanagar. Carnatic-Bijapur (o Karnatik-Bijapur) Era su nueva provincia. Sus gobernadores famosos fueron los Bhonsles: Shahji y sus hijos (el futuro Chhatrapati) Shivaji. Shahji conquista Tamil Nadu y la provincia se vuelve demasiado grande. Se divide en dos: Carnatic-Bijapur-Balaghat y Carnatic-Bijapur-Payanghat. Bala en persa significa alto y Payan significa bajo. Entonces, el área al oeste de Ghats del este se convierte en Balaghat y el este de Ghats del este se convierte en Payanghat (Tamil Nadu moderno + Nellore, Chittoor).
Bijapur pronto fue invadido por los mogoles. Aurangzeb funda dos Nawabs (1687): uno para Balaghat en Sira y otro para Payanghat en Acrot en Tamil Nadu.
Luego vienen los europeos y ellos, en su ignorancia, comenzaron a referirse a Carnatic-Payanghat, es decir, Tamil Nadu, como Carnatic. Entonces, toda la literatura europea del siglo XVIII lleva a Carnatic como el nombre de la región de Tamil Nadu. Mysore, aunque parte de Carnatic-Balaghat, logró conservar la autonomía debido a sus astutos reyes.
¿Dónde aparece Hyderabad (su pregunta)? Porque el Nizam como el virrey mogol era el supervisor de “Carnatic”. Entonces, las Guerras Carnáticas, que hicieron a los británicos poderosos en India, se libran principalmente en Hyderabad, Tamilandu, Andhra, etc.
Ahora, la música Carnatic podría significar música Karnataka (es decir, codificada durante Vijayanagara) o Carnatic = Tamilnadu, música del sur de la India; personas que toman sus posiciones según su región.
Cuando se estableció la Presidencia británica de Madrás, el nombre “Carnatic” cae en desgracia. Karnatak todavía se usaba en la presidencia de Bombay para referirse a las regiones de Kannada.
Cuando el estado de Mysore pasó a llamarse estado de Karnataka en 1973, se restableció el nombre legítimo de esta región.
Espero haber abordado tu confusión.