¿Cuál era la población de turcos y mongoles cuando invadieron Irán / Persia y el mundo islámico?

Difícil de decir. Probablemente había menos de un millón de mongoles, pero la mayoría de los hombres en edad militar lucharían en el ejército. Y los nómadas conquistados serían reclutados.

El tamaño de sus ejércitos está en disputa, pero generalmente fueron superados en número. Ganados por tácticas de bateo y más flexibilidad:

El tamaño del ejército de Genghis a menudo está en disputa. Muchos historiadores musulmanes contemporáneos afirman que el ejército mongol era más grande, con 400,000 para el Shah (extendido por todo el imperio) y 600,000-700,000 para el Khan como figuras comunes. También se arrojaron 800,000 para Genghis, aunque con menos frecuencia. Sin embargo, esta cifra superaría en gran medida a toda la población mongol, ya que las poblaciones nómadas no eran capaces de sostener grandes poblaciones debido a la producción insuficiente de alimentos debido a la falta de agricultura. Los historiadores modernos aún debaten hasta qué punto estos números reflejan la realidad. David Morgan y Denis Sinor, entre otros, dudan que los números sean verdaderos en términos absolutos o relativos, mientras que John Mason Smith considera que los números son precisos. Sinor acredita a los Khwarezmianos con un ejército total de 400,000, pero acerca la fuerza mongol a 100,000–150,000. Fuentes casi contemporáneas, como Rashid Al-Din, afirman que los mongoles tenían 105,000 soldados en total en 1206 y 129,000 en 1227. (Conquista mongol de Khwarezmia – Wikipedia)