¿Cómo controlaron los británicos un gran imperio con tan pocos soldados?

A través de una variedad de métodos.
1) Algunos países no vieron la necesidad de levantarse. Un ejemplo es Singapur. Claro que el país fue explotado por los británicos y el racismo era desenfrenado, pero había paz, prosperidad y orden. La comida era abundante, el gobierno mantenía el orden (más o menos) y la vida era pasable. Ciertamente vivieron mejor que la mayoría de los otros países colonizados. En cambio, las personas se preocuparon por lo que sucedería si se rebelaran, y permanecer bajo la protección de uno de los imperios más fuertes del mundo fue bastante atractivo.
2) Algunos fueron aplastados por el poder militar debido a la alta calidad de sus soldados. Un ejemplo es la India. En la mayoría de las batallas, los indios superaron ampliamente a los británicos, pero debido a su tecnología y hardware inferiores, a menudo se vieron obligados a retroceder.
3) En algunos lugares utilizaron los sentimientos de las tribus contra otros, formando alianzas con poderes localmente establecidos y ejerciendo poder a través de ellos. De esta manera enfrentaron inteligentemente a las tribus que podrían haber tenido una oportunidad unidas entre sí.

Puedes conquistar un país con pocos hombres (españoles versus aztecas). Una vez que te conviertes en amigo de personajes locales, por ejemplo, en India, usas allí tropas con tus uniformes como tu ejército, los oficiales en coma son británicos, pero todos los terratenientes podrían ser tropas de jeque.

Gran Bretaña fue el primer país en industrializarse, y las naciones que sí tuvieron una gran ventaja sobre las naciones que no lo hicieron. Además formaron alianzas con poderes localmente establecidos y ejercieron poder a través de ellos, lo que multiplicó su influencia.